20150621 統計検定２級 問１０[1]

ある都市におけるPM2.5（微小粒子状物質）の1日平均量Xは独立に正規分布に従い、その平均は20μg/㎥、標準偏差は５μg/㎥であると仮定する。世界保健機関（WHO)のガイドラインでは、PM2.5の1日平均量に対する指針値を25μg/㎥と定めている。

[1]PM2.5の1日平均量Xが指針値25μg/㎥を超える確率は幾らか。次の①～⑤を選べ。

①2.3%　②16％　③32％　④46％　⑤54％

〇回答：②

※回答の右を反転してください。

〇内容

\begin{eqnarray} P \geqq 25 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq \frac{ 25 - 20 }{ 5 } ) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq 1 ) \end{eqnarray}

標準正規分布表を参照して１.00を見つける。

値1.00の面積は0.1587。

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq 1 ) = 0.1587 \fallingdotseq  0.16 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \therefore 16 パーセント\end{eqnarray}

〇詳細

「 1日平均量Xは独立に正規分布に従い」と書いてあるから、正規分布に従うのかーと。正規分布とググっちゃえば、大体釣鐘型の図が出てくるはず。

「その平均は20μg/㎥、標準偏差は５μg/㎥であると仮定する。」と書いている。

これを表す記号は

\begin{eqnarray} ｘ：Ｎ（\mu、σ^2)  \end{eqnarray}

と記す。んーまぁこんなのが出てきたら正規分布じゃね？って思えばいいかな。

今回のばーいは、上記をあてはめると

\begin{eqnarray} ｘ：Ｎ（20、5)  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} 5^2　 \end{eqnarray}

じゃないのって思うかもだけれど、標準偏差って書かれているか、分散って書かれているかが分岐点。今回は標準偏差って書かれているので

\begin{eqnarray} ｘ：Ｎ（20、5)  \end{eqnarray}

で、 この平均μと標準偏差σを標準化すると、平均０、標準偏差１の正規分布に変わる。その公式が

\begin{eqnarray} \frac{ X - \mu }{ σ } = Z \end{eqnarray}

 で、それを当てはめると、

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq \frac{ 25 - 20 }{ 5 } ) \end{eqnarray}

あ。越える確率だから≧。

で、計算すると

\begin{eqnarray} =P  (  Ｚ \geqq \frac{ 25 - 20 }{ 5 } ) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq 1 ) \end{eqnarray}

後は標準正規分布表とにらめっこして1.00なんだけれど、

釣鐘型の右側の１以上って事を念頭に入れて正規分布表を見ること。

今回の場合は0.1587と表示されている。

sasで計算してみるとこう。

data work1001;
p=cdf('normal',25,20,5);  /*正規分布の累積分布関数->CDF*/
z=1-p; /*問では超える確率としているので、正規分布の右側の面積の数値を求める*/
run;

proc print data=work1001;
run;

OBS	p	z
1	0.84134	0.15866

z=0.15866≒0.16＝16％