20150621 統計検定２級 問１０[2]

ある都市におけるPM2.5（微小粒子状物質）の1日平均量Xは独立に正規分布に従い、その平均は20μg/㎥、標準偏差は５μg/㎥であると仮定する。世界保健機関（WHO)のガイドラインでは、PM2.5の1日平均量に対する指針値を25μg/㎥と定めている。

[2]1日平均量Xの1週間（7日）での平均が指針値25μg/㎥を超える確率は幾らか？次の①～⑤からどーぞ。

①0.1％　②0.4％　③0.7％　④1.5％　⑤2.3％

〇回答：②

 ※回答の右を反転してください。

〇内容

\begin{eqnarray} P \geqq 25 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq \frac{ 25 - 20 }{\frac{ 5 }{ \sqrt{ 7} }} ) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq \sqrt{ 7} \fallingdotseq 2.6457 ) \end{eqnarray}

標準正規分布表を参照して2.65を見つける。

値2.65の面積は0.0040。

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq 2.65 ) = 0.0040 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \therefore 0.4 パーセント\end{eqnarray}

〇詳細

問いには母平均の日数が書いてないからわからないけれど、

[2]1日平均量Xの1週間（7日）での平均が指針値25μg/㎥と書いていることから、

７日は標本平均なんだなーってね。

標本平均。全体の中の一部を取り出した平均。

じゃあ[1]と何が変わるのかっていうと。

\begin{eqnarray} =P  (  Z \geqq \frac{ 25 - 20 }{\frac{ 5 }{ \sqrt{ 7} }} ) \end{eqnarray}

公式にすると

\begin{eqnarray}  \frac{ \bar{ X } - \mu }{\frac{ σ }{ \sqrt{ n} }} \end{eqnarray}

[1]は

\begin{eqnarray} \frac{ X - \mu }{ σ } = Z \end{eqnarray}

分母が変化している。

何故分母が変化したかというと、全体の中の一部だから。

この一部が全体に近づくことで元の正規分布に近づいていく。

このことを中心極限定理って言う。

中心極限定理でーググろう。

まぁつまり。

標本平均の分布だし、正規分布しているんだから、この公式。

\begin{eqnarray}  \frac{ \bar{ X } - \mu }{\frac{ σ }{ \sqrt{ n} }} \end{eqnarray}

で、後は当てはめて計算。 

sasだとこんな感じ。

data work1001;
a=sqrt(7); /*平方根の計算。エクセルもこの関数。*/
b=5/a;
p=cdf('normal',25,20,b);
z=(1-p);
run;

proc print data=work1001;
run;

OBS	a	b	p	z
1	2.64575	1.88982	0.99592	.004075486

z=0.00407

なので。0.4％が正解。