20150621 統計検定２級 問１１
二者択一で答えさせられる36問の問題があり、24問以上の正解で合格である。この時、全くでたらめの回答をしたときの合格率は幾らか？次の①～⑤で答えよ。
①50% ②30％ ③10％ ④5％ ⑤3％
〇答え：⑤
〇内容
\begin{eqnarray} 36 \times \frac {1}{2} = 18 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 36 \times \frac {1}{2} \times (1 - \frac {1}{2} ) = 9 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \sqrt{ 36 \times \frac {1}{2} \times (1 - \frac {1}{2} ) } = 3\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 24-0.5=23.5 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} P(x \geqq 23.5) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} P(z \geqq \frac {23.5-18}{3}) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} P(z \geqq 1.8333) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} =0.0336 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} P(x \geqq 23.5)=0.0336 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \therefore 3パーセント \end{eqnarray}
〇詳細
二者択一だから○×で二項分布。
二項分布は離散型。正規分布は連続型。なので半整数補正をすることで近似させる。
まずは二項分布なので。
・平均
\begin{eqnarray} \mu = np \end{eqnarray}
n=36問
p=○ or ×だから 0.5
\begin{eqnarray} 36 \times \frac {1}{2} = 18 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \mu = 18 \end{eqnarray}
・分散
\begin{eqnarray} σ^2 = np(1-p) \end{eqnarray}
つまり、こんな感じ。
\begin{eqnarray} 36 \times \frac {1}{2} \times (1 - \frac {1}{2} ) = 9 \end{eqnarray}
・標準偏差
\begin{eqnarray} σ= \sqrt{ np(1-p) } \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \sqrt{ 36 \times \frac {1}{2} \times (1 - \frac {1}{2} ) } = 3\end{eqnarray}
・半整数補正
まぁ単純に確率を-0.5 or +0.5をすればいいだけ。こんな感じ。
\begin{eqnarray} P \geqq 24 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 24-0.5=23.5 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray}※（ P \leqq 24 なら＋0.5となる）\end{eqnarray}
後は、標準化を行い。
\begin{eqnarray} =P ( Z \geqq \frac{ 23.5 - 18 }{ 3 } ) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} =P ( Z \geqq 1.8333 ) \end{eqnarray}
1.8333を正規分布表で見比べ。
\begin{eqnarray} =0.0336 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} P(x \geqq 23.5)=0.0336 \end{eqnarray}
凡そ、３％となる。
\begin{eqnarray} \therefore 3パーセント \end{eqnarray}
○SAS
因みに
D37が問26以上を計算したもの。0.032623なので約3.3％。
ｚが半整数補正を行ったもの。0.033377なので約3.3％。
z1は半整数補正を行わなかった場合。0.009815329なので約1％。
| OBS | p | m | v | σ | x | p1 | p2 | z | z1 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.5 | 18 | 9 | 3 | 23.5 | 0.96662 | 0.99018 | 0.033377 | .009815329 | 36 |
| d0 | d1 | d2 | d3 | d4 | d5 | d6 | d7 | d8 | d9 | d10 |
| 1.4552E-11 | 5.2387E-10 | 9.1677E-9 | .000000104 | .000000857 | .000005486 | .000028344 | .000121475 | .000440346 | .001369965 | .003698906 |
| d11 | d12 | d13 | d14 | d15 | d16 | d17 | d18 | d19 | d20 | d21 |
| .008742868 | 0.018214 | 0.033626 | 0.055243 | 0.081024 | 0.10634 | 0.12511 | 0.13206 | 0.12511 | 0.10634 | 0.081024 |
| d22 | d23 | d24 | d25 | d26 | d27 | d28 | d29 | d30 | d31 | d32 |
| 0.055243 | 0.033626 | 0.018214 | .008742868 | .003698906 | .001369965 | .000440346 | .000121475 | .000028344 | .000005486 | .000000857 |
| d33 | d34 | d35 | d36 | d37 | ||||||
| .000000104 | 9.1677E-9 | 5.2387E-10 | 1.4552E-11 | 0.032623 |
