20150621 統計検定２級 問１０[3]
ある都市におけるPM2.5（微小粒子状物質）の1日平均量Xは独立に正規分布に従い、その平均は20μg/㎥、標準偏差は５μg/㎥であると仮定する。世界保健機関（WHO)のガイドラインでは、PM2.5の1日平均量に対する指針値を25μg/㎥と定めている。
[3]1週間のうち、1日平均量Xが指針値25μg/㎥を超える日が2日以上となる確率は幾らか？次の①～⑤からどーぞ。
①1.0％ ②29％ ③31％ ④69％ ⑤71％
〇回答：③
〇内容
\begin{eqnarray} P \geqq 25 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} =P ( Z \geqq \frac{ 25 - 20 }{ 5 } ) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} =P ( Z \geqq 1 ) \end{eqnarray}
標準正規分布表を参照して１.00を見つける。
値1.00の面積は0.1587。
\begin{eqnarray} =P ( Z \geqq 1 ) = 0.1587 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} f(0) = {}_7 \mathrm{ C }_0 0.1587^0(1-0.1587)^7 \fallingdotseq 0.29841 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} f(1) = {}_7 \mathrm{ C }_1 0.1587^1(1-0.1587)^6 \fallingdotseq 0.39391 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 1-f(0)-f(1) = 0.30768 \fallingdotseq 0.31 \end{eqnarray}
∴31％
〇詳細
A「[1]PM2.5の1日平均量Xが指針値25μg/㎥を超える確率」って事で、問10[1]で1日平均量が出ている。んーっと0.1587。
B「[3]…1日平均量Xが指針値25μg/㎥を超える日」なので、超えるの？超えないの？どっち？
って事で、ベルヌーイトライアルじゃん。と。詳しくは…検索してね。ベルヌーイトライアルって事は二項分布かーと。
C「[3]1週間のうち…2日以上となる確率は幾らか？」
A:式はおさらいっというか問10[1]で出ているけれど。
\begin{eqnarray} P \geqq 25 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} =P ( Z \geqq \frac{ 25 - 20 }{ 5 } ) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} =P ( Z \geqq 1 ) \end{eqnarray}
標準正規分布表を参照して１.00を見つける。
値1.00の面積は0.1587。
B：二項分布の式はこんな感じ。
\begin{eqnarray} f(x) = {}_n \mathrm{ C }_x P^x(1-P)^{n-x} \end{eqnarray}
nは総数。今回は7日がそう。
Pは確率。Aの答えがそう。0.1587。
xは変数。今回の場合はnが7なので0～7の間。
C：2日以上の確率だから
\begin{eqnarray} f(2) = {}_7 \mathrm{ C }_2 0.1587^x(1-0.1587)^{7-2} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} f(3) = {}_7 \mathrm{ C }_3 0.1587^x(1-0.1587)^{7-3} \end{eqnarray}
…
\begin{eqnarray} f(7) = {}_7 \mathrm{ C }_7 0.1587^x(1-0.1587)^{7-7} \end{eqnarray}
なんてやるよりかは、確率分布の性質として１－０の間って性質があるので、
\begin{eqnarray} f(0) = {}_7 \mathrm{ C }_2 0.1587^x(1-0.1587)^{7-2} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} f(1) = {}_7 \mathrm{ C }_3 0.1587^x(1-0.1587)^{7-3} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 1-f(0)-f(1) = 0.30768 \fallingdotseq 0.31 \end{eqnarray}
でも、結果は一緒。
因みにSASだと。
| OBS | p | z | n | d0 | d1 | d2 | d3 | d4 | d5 | d6 | d7 | d8 | d9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.84134 | 0.15866 | 7 | 0.29841 | 0.39391 | 0.22284 | 0.070037 | 0.013207 | .001494306 | .000093929 | .000002530 | 0.30768 | 0.30768 |
